一般の逆行列とクラメルの公式を求める

\(A\)をある任意の正則行列とする.

また,\(A\)の\(i\)行目と\(j\)列目を取り除いてできた行列の行列式に\((-1)^{i+j}\)を掛けたものを
\(A\)の\((i,j)\)余因子といい\(\tilde{a}_{ij}\)で表す.
行と列の入れ替えにより,\((i,j)\)余因子は,
\begin{align*}
\tilde{a}_{ij}
=
\begin{array}{|ccccc|c}
& &j\text{列目}& & &\\
a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} &\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots &\\
a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in} & i\text{行目}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} &
\end{array}
\end{align*}
に一致することに注意しよう.
このとき,\(\det A\)は,
\begin{align*}
\det A
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\\&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\\&=
\sum _{i=1}^n
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\\&=
\sum _{i=1}^n
a_{ij}
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\\&=
\sum _{i=1}^n
a_{ij}\tilde{a}_{ij}
\end{align*}
となるので,縦ベクトル
\(\displaystyle{
\boldsymbol{a}_j
=
\begin{pmatrix}
a_{1j} \\
\vdots \\
a_{nj}
\end{pmatrix}
}\)
を用いると
\begin{align*}
\det A
=
\sum _{k=1}^na_{kj}\det (\boldsymbol{a}_1,\cdots ,\boldsymbol{a}_{j-1},\boldsymbol{e}_k,\boldsymbol{a}_{j+1},\cdots ,\boldsymbol{a}_n)
=
\sum _{k=1}^n
a_{kj}\tilde{a}_{kj}
\end{align*}
が成り立つ.
一方,\(i\neq j\)のとき,
\begin{align*}
\sum _{k=1}^n
a_{kj}\tilde{a}_{ki}
=
\sum _{k=1}^na_{kj}\det (\boldsymbol{a}_1,\cdots ,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{e}_k,\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{a}_n)
=
\sum _{k=1}^n\det (\boldsymbol{a}_1,\cdots ,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{a}_j,\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{a}_n)
\end{align*}
より,行列式の\(i\)列目と\(j\)列目が等しいので全体はゼロになる.
以上より,
\begin{align*}
\sum _{k=1}^n
\tilde{a}_{ki}a_{kj} = \det A\delta _{ij}
\end{align*}
が成り立つので,\((i,j)\)成分に\((j,i)\)成分の余因子を持つ余因子行列を
\begin{align*}
\tilde{A}
=
\begin{pmatrix}
\tilde{a}_{11} & \cdot & \tilde{a}_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\tilde{a}_{1n} & \cdots & \tilde{a}_{nn}
\end{pmatrix}
\end{align*}
とおくと,
\begin{align*}
\tilde{A}A = \det A I
\end{align*}
となるのでこの両辺に左側から\(\displaystyle{\frac{1}{\det A}A^{-1}}\)を掛けると,
\begin{align*}
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\tilde{A}
\end{align*}
が得られる.
よって任意の正則行列\(A\)と任意の縦ベクトル\(\boldsymbol{b}\)に対して
\begin{gather}
A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}
\end{gather}
の解は,
\begin{align*}
\boldsymbol{x}
&=
A^{-1}\boldsymbol{b}
\\&=
\frac{1}{\det A}\tilde{A}\boldsymbol{b}
\\&=
\frac{1}{\det A}\left(\sum _{k=1}^n\tilde{a}_{ki}b_k\right) _i
\\&=
\frac{1}{\det A}
\begin{pmatrix}
\det (\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_2,\dots ,\boldsymbol{a}_n) \\
\vdots \\
\det (\boldsymbol{a}_1,\dots ,\boldsymbol{a}_{n-1},\boldsymbol{b})
\end{pmatrix}
\end{align*}
となる.これはクラメルの公式として知られているものである.   

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