量子力学のための数学(不確定性関係)

ひっさしぶりです。竜太です、ども。

今回は不確定性関係の導出をします。
不確定性とは次のようなものを指します:

まず、量子力学における期待値とは、任意のエルミート演算子\(\hat{A}\)に対して、
\[\langle\hat{A}\rangle := \langle\psi |\hat{A}|\psi\rangle\]
によって定義される積です。ここで\(|\psi\rangle\)は対象となる考えている量子系の状態になります。
このとき、偏差演算子\(\Delta\hat{A}\)を次によって定義します:
\[\Delta\hat{A} := \hat{A} – \langle\hat{A}\rangle\]
また、
\[\Delta A := \sqrt{\langle (\Delta\hat{A})^2\rangle}\]
と定義します。
このとき、
もし演算子\(\hat{A}\)と\(\hat{B}\)の間に、ある非負実数\(C\)が存在して
\[[\hat{A},\hat{B}] = iC\]
が成り立つとき、
\[\Delta A\Delta B \geq \frac{C}{2}\]
が成り立ちます。このように偏差の積が一定値未満に出来ないのでこの関係を不確定性関係と呼びます。
例えば演算子\(\hat{x}\)と\(\hat{p}\)の間には\[[\hat{x},\hat{p}] = i\hbar\]の関係があるとき、
\[\Delta x\Delta p \geq \frac{1}{2}i\hbar\]
となり、もっともよく知られた不確定性関係が得られます。

さて、これを示してみましょう。
次のようにします:
任意のエルミート演算子\(\hat{A}\)に対して\(\langle|\hat{A}|^2\rangle \geq 0\)に注意します。
するとエルミート演算子\(\hat{A}\)と\(\hat{B}\)に対してある実数\(C\)が存在して、
\[[\hat{A},\hat{B}] = iC\]
が成り立つものとする。
すると、任意の実数\(\alpha\)に対して
\begin{align*}
\langle |\alpha\Delta\hat{A} + i\Delta\hat{B}|^2\rangle
=&
\langle (\alpha\Delta\hat{A} + i\Delta\hat{B})^{\dagger}(\alpha\Delta\hat{A} + i\Delta\hat{B})\rangle
\\=&
\langle (\alpha\Delta\hat{A}^{\dagger} – i\Delta\hat{B}^{\dagger})(\alpha\Delta\hat{A} + i\Delta\hat{B})\rangle
\\=&
\langle (\alpha\Delta\hat{A} – i\Delta\hat{B})(\alpha\Delta\hat{A} + i\Delta\hat{B})\rangle
\\=&
\langle(\Delta\hat{A})^2\alpha ^2 + i\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}\alpha – i\Delta\hat{B}\Delta\hat{A}\alpha + (\Delta\hat{B})^2\rangle
\\=&
\langle(\Delta\hat{A})^2\alpha ^2 + i[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]\alpha + (\Delta\hat{B})^2\rangle
\\=&
\langle(\Delta\hat{A})^2\alpha ^2 – C\alpha + (\Delta\hat{B})^2\rangle
\\=&
\langle(\Delta\hat{A})^2\rangle\alpha ^2 – \langle C\rangle\alpha + \langle(\Delta\hat{B})^2\rangle
\end{align*}
となりますが、これがゼロ以上だから、
\[\langle(\Delta\hat{A})^2\rangle\alpha ^2 – \langle C\rangle\alpha + \langle(\Delta\hat{B})^2\rangle \geq 0\]
が成り立つべきです。
するとこの\(\alpha\)に関する2次関数は$x$軸と最大でも1点でしか交わらないので、判別式はゼロ以下です。
よって
\[D = \langle C^2\rangle – 4\langle(\Delta\hat{A})^2\rangle\langle(\Delta\hat{B})^2\rangle\leq 0\]
が成り立つのでこれを整理すると、
\[\sqrt{\langle(\Delta\hat{A})^2\rangle}\sqrt{\langle(\Delta\hat{B})^2\rangle} \geq \frac{1}{2}C,\]
つまり、
\[\Delta A\Delta B \geq \frac{1}{2}C\]
成り立つことが示せました。

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