量子力学のための数学(シュレディンガー方程式)


ども,竜太です.大変長らくお待たせしました.
前回までで,ブラケット記法によるエネルギー演算子,運動量演算子の表式が導かれましたので直ぐにシュレディンガー方程式が導けるのですが,
この回は残念ながらブラケット記法の恩恵があまりなく,自分としてはもっと美しいことができないかと模索していたのですが,あまり上手くいかず悶々としておりました.
そもそも量子力学の学習はほぼ独学でやっていたため,見落としや抜けがあるかもしれません.
また,実際上の計算もほとんどの場合,通常のシュレディンガー方程式を解くことに帰着されそうで,私がここで展開してきた表記法が役立つ場面がなかなか見つかりませんでした.
そんなわけなので,この形式を用いてシュレディンガー方程式を導いても今のところ苦労の割に恩恵は少なそうですが,そのうち役に立つ場面が出てくることを想定して,今回シュレディンガー方程式を導いてみます.

まず,エネルギー演算子と運動量演算子は次のようなものでした:
\begin{align*}
\hat{E} =& -\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}
\\
\hat{\boldsymbol{p}} =& \int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\frac{\hbar}{i}\nabla\langle\boldsymbol{x}|
\end{align*}
ここで今,質量\(m\)の単一の点粒子を考え,その位置を\(\boldsymbol{x}\)とすると,全エネルギは\((全エネルギー) = (運動エネルギー) + (ポテンシャルエネルギー)\)となりますので,
\[E = \frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2 + V(\boldsymbol{x}) = \frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} + V(\boldsymbol{x})\]
と書かれます.ただし\(\boldsymbol{p}^2 = \boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{p}\)は運動量同士の内積を意味します.
全エネルギーをこの形で書いたものは解析力学ではハミルトニアン\(H\)と呼ばれるものですので,これを演算子にすると,
\[\hat{H} = \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m} + V(\hat{\boldsymbol{x}})\]
となります.今我々が欲しい式はエネルギーについての等式なのですが,エネルギーについての演算子はエネルギー演算子\(\hat{E}\)とハミルトニアン\(\hat{H}\)がありますので,
\(\hat{E}\bigcirc = \hat{H}\bigcirc\)の形になります.
ここで\(\hat{E}\)と\(\hat{H}\)は共に状態ケットベクトルに作用させることができますので,任意の\(1\)粒子状態\(|\psi (t)\rangle\)に対して,
\[\hat{E}|\psi (t)\rangle = \hat{H}|\psi (t)\rangle\]
が求める式になります.
そこでこの演算子の部分を具体的に求めてシュレディンガー方程式を完成させましょう.
まず,左辺はエネルギー演算子の形が分かっていますので,それを代入すると
\[\hat{E}|\psi (t)\rangle = -\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dt}|\psi (t)\rangle\]
となることが分かります.
一方,右辺はまずハミルトニアン演算子の具体形を求める必要があります.
少々回りくどいですが,まずハミルトニアン演算子に現れる\(\hat{\boldsymbol{p}}^2\)を導いてみます:
\begin{align*}
\hat{\boldsymbol{p}}^2
=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{x}}\langle\boldsymbol{x}|\int d\boldsymbol{y}|\boldsymbol{y}\rangle\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
\int d\boldsymbol{y}\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{x}}\langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
\int d\boldsymbol{y}\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{x}}\delta (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
\int d\boldsymbol{y}\int d\boldsymbol{x}\biggl[\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{x}}\left(|\boldsymbol{x}\rangle\delta (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\right) – \frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{x}}\left(|\boldsymbol{x}\rangle\right)\delta (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\biggr]\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
– \frac{\hbar}{i}\int d\boldsymbol{y}\int d\boldsymbol{x}\nabla _{\boldsymbol{x}}\left(|\boldsymbol{x}\rangle\right)\delta (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
– \frac{\hbar}{i}\int d\boldsymbol{y}(\nabla _{\boldsymbol{y}}|\boldsymbol{y}\rangle )\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
– \frac{\hbar}{i}\int d\boldsymbol{y}\nabla _{\boldsymbol{y}}\biggl(|\boldsymbol{y}\rangle\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|\biggr)
– |\boldsymbol{y}\rangle\nabla _{\boldsymbol{y}}\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
\int d\boldsymbol{y}|\boldsymbol{y}\rangle\left(\frac{\hbar}{i}\nabla _{\boldsymbol{y}}\right)^2\langle\boldsymbol{y}|
\\=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \hbar ^2\nabla ^2_{\boldsymbol{x}}\right)\langle\boldsymbol{x}|
\end{align*}
が得られます.したがってハミルトニアン演算子は,
\begin{align*}
\hat{H}
=&
\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m} + V(\hat{\boldsymbol{x}})
\\=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}}\right)\langle\boldsymbol{x}| + V(\hat{\boldsymbol{x}})
\\=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}}\right)\langle\boldsymbol{x}| + V(\hat{\boldsymbol{x}})\hat{1}
\\=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}}\right)\langle\boldsymbol{x}| + V(\hat{\boldsymbol{x}})\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\langle\boldsymbol{x}|
\\=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}}\right)\langle\boldsymbol{x}| + \int d\boldsymbol{x}V(\boldsymbol{x})|\boldsymbol{x}\rangle\langle\boldsymbol{x}|
\\=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}}\right)\langle\boldsymbol{x}| + \int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle V(\boldsymbol{x})\langle\boldsymbol{x}|
\\=&
\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}} + V(\boldsymbol{x})\right)\langle\boldsymbol{x}|
\end{align*}
となりますので求めるシュレディンガー方程式は
\[-\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dt}|\psi (t)\rangle = \int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla _{\boldsymbol{x}} + V(\boldsymbol{x})\right)\langle\boldsymbol{x}||\psi (t)\rangle\]
となります.
念のためこの式の両辺に左から\(\langle\boldsymbol{y}|\)を作用させてみると,左辺は,
\begin{align*}
\langle\boldsymbol{y}|-\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dt}|\psi (t)\rangle
=&
-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}\langle\boldsymbol{y}|\psi (t)\rangle
\\=&
-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}\psi (\boldsymbol{y};t)
\end{align*}
となり,右辺は,
\begin{align*}
\langle\boldsymbol{y}|\int d\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}} + V(\boldsymbol{x})\right)\langle\boldsymbol{x}||\psi (t)\rangle
=&
\int d\boldsymbol{x}\langle\boldsymbol{y}|\boldsymbol{x}\rangle\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}} + V(\boldsymbol{x})\right)\langle\boldsymbol{x}||\psi (t)\rangle
\\=&
\int d\boldsymbol{x}\delta (\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{x}} + V(\boldsymbol{x})\right)\langle\boldsymbol{x}||\psi (t)\rangle
\\=&
\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{y}} + V(\boldsymbol{y})\right)\langle\boldsymbol{y}|\psi (t)\rangle
\\=&
\left( – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2_{\boldsymbol{y}} + V(\boldsymbol{y})\right)\psi (\boldsymbol{y};t)
\\=&
– \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2 _{\boldsymbol{y}}\psi (\boldsymbol{y};t) + V(\boldsymbol{y})\psi (\boldsymbol{y};t)
\end{align*}
となるので両辺を結び変数を\(\boldsymbol{x}\)に変えると,
\[-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}\psi (\boldsymbol{x};t) = – \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2\psi (\boldsymbol{x};t) + V(\boldsymbol{x})\psi (\boldsymbol{x};t)\]
となり,よく知られた通常の形のシュレディンガー方程式が得られます.

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